Mathe - harmonische Reihe

[Varinia]

Hi,

ich verstehe folgende Aufgabe nicht (d.h. ich weiß nicht wie ich die neue Reihe bilden soll, und die ist Vorraussetzung für die weiteren Teilaufgaben...)

Man betrachte die harmonische Reihe "Summenzeichen"(i=1 bis ´unendlich´) 1/i = 1 + 1/2 + 1/3 + ...
Jetzt soll man jedes Reihenglied u(i) = 1/i durch 1/2^n ersetzen.
Jetzt kommt das, was ich nciht verstehe:
2^n ist dabei die kleinste Zweierpotenz, die grösser oder gleich i ist (z.B werden 1/5, 1/6, 1/7, 1/8 jeweils durch 1/8 ersetzt).

Kann mir das vielleicht jemand genauer erklären??

THX!
V.

[Steffen M.]

Man betrachte die harmonische Reihe "Summenzeichen"(i=1 bis ´unendlich´) 1/i = 1 + 1/2 + 1/3 + ...
Jetzt soll man jedes Reihenglied u(i) = 1/i durch 1/2^n ersetzen.
Jetzt kommt das, was ich nciht verstehe:
2^n ist dabei die kleinste Zweierpotenz, die grösser oder gleich i ist (z.B werden 1/5, 1/6, 1/7, 1/8 jeweils durch 1/8 ersetzt).

Kann mir das vielleicht jemand genauer erklären??

Ich versuch's mal...

Du sollst aus der harmonischen Reihe eine neu Reihe basteln. Dazu hast Du eine "Konstruktionsanleitung":

• Du nimmst das "i. Reihenglied" her, also z.B. das dritte Glied wäre dann: u(3) = 1/3.
  
  
• Dann hältst Du dieses Reihenglied erst mal "fest" und schaust Dir davon nur den Nenner an. Aus dieser "3" (in diesem Beispiel) solltst Du jetzt eine Zweierpotentz (2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, ...) machen, also ein 2^n. Allerdings nicht irgend eine beliebige Zweierpotenz (also dieses "n" nicht willkürlich wählen), sondern eine, die größer oder gleich Deinem festgehaltenen "i" ist. Aber auch davon nicht eine beliebig große, sondern die kleinste. Mit anderen Worten: Du gehst von jedem "i" zur nächstgrößten Zweierpotenz und nimmst die (und wenn "i" selber eine Zweierpotent ist, lässt Du "i" stehen). In diesem Fall (i=3) wäre die nächstgrößte Zweierpotenz also die "4".

So weit klar, wie Du die Reihe "umbauen" musst?

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, sieht dann die neue Reihe so aus: 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/16 + 1/16 + .....

Kommst Du damit weiter?

HTH,
Steffen

[Varinia]

Hab´s jetzt verstanden und konnte somit auch die anderen Teilaufgaben lösen!
Danke!!
V.