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Thema: Satz des Pythagoras

  1. #1
    Angel1
    oxy:gast

    Satz des Pythagoras

    Hi, also mein Problem:
    Für eine Facharbeit in Mathe sollen wir ein Beweise für den Satz des Pythagoras wählen und ihn beschreiben, also einen beweis erstellen (natürlich keinen eigenen). Nun hab ich mich informiert und viele beweise gefunden jedoch weiß ich nicht wie ich die erklären soll, kann einer mir eine erklärung posten ohne das der satz ein beweiß für sich selber ist?

    Satz des Pythagoras:
    a²+b²=c²

    Und wie ist es mit der umkehrung des satzes?

  2. Nach oben    #2

    40 Jahre alt
    626 Beiträge seit 12/2003
    also ich versuchs mal

    bei einem Dreieck mit einem rechten Winkel:

    a -> Kathethe
    b -> Gegenkathe
    c -> Hypotenuse

    die Quadrate mit den längen der Katheten (also a²+b²) ist hat zusammen exakt die Fläche des Quadrates mit den längen der Hypothenuse (sprich c²).

    die Umkehrung?!

    vielleicht

    a²=c²-b²
    b²=c²-a²

    ?!

    "ohne das der satz ein beweiß für sich selber ist?"

    versteh ich nicht...einfach Zahlen einsetzen ?!

  3. Nach oben    #3

    43 Jahre alt
    aus Ulm
    332 Beiträge seit 11/2002
    Zitat Zitat von Angel1
    Hi, also mein Problem:
    Für eine Facharbeit in Mathe sollen wir ein Beweise für den Satz des Pythagoras wählen und ihn beschreiben, also einen beweis erstellen (natürlich keinen eigenen).
    Evtl. helfen Dir die folgenden Seiten weiter:


    Zitat Zitat von Angel1
    Nun hab ich mich informiert und viele beweise gefunden jedoch weiß ich nicht wie ich die erklären soll,
    Ich denke, zumindest eines dieser Verfahren, das auf den genannten Seiten vorgestellt und erklärt wird (sicher hast Du auch so etwas in diese Richtung gefunden), kann man ein bisschen ausbauen, so dass man es den Mitschülern verständlich rüberbringen kann (und darum geht es ja vermutlich, oder?).

    Zitat Zitat von Angel1
    kann einer mir eine erklärung posten ohne das der satz ein beweiß für sich selber ist?
    Ich habe, als ich Dein Posting heute morgen las, zunächst daran gedacht, den Satz evtl. vektoriell (z.B. über das Skalarprodukt) zu beweisen. Aber irgendwie stolperte ich über genau das Problem, nämlich, dass man teilweise Dinge verwenden musste, die wiederum eigentlich vom Satz des Pythagoras stammen. Zum Beispiel die euklidische Norm (Länge) eines Vektors. Da ist dann die Frage, was man definiert und was woraus gefolgert (bzw. als Satz aufgestellt wird).

    Ich finde daher diese geometrischen Beweise schöner, weil man da nicht so schnell Gefahr läuft (wie z.B. wenn man es vektoriell macht), im Beweis den Satz selber wieder zu verwenden (und dann wäre es ja kein Beweis mehr).

    Zitat Zitat von Angel1
    Und wie ist es mit der umkehrung des satzes?
    Was meinst Du genau mit "Umkehrung"? Dass aus a² + b² != c² folgt, dass ein Dreieck nicht rechtwinkling ist ("!=" steht für "ungleich")? Das würde ich dann nur logisch schlussfolgern, wenn der Satz selber bewiesen ist.

    Etwa nach dem Motto ("A --> B" bedeuet: "Aus A folgt B" bzw. "Wenn, dann").
    • Satz des Pythagoras sagt: Rechtwinklinges Dreieck liegt vor --> a²+b²=c² ist immer erfüllt.
    • Satz des Pythagoras wird bewiesen.
    • Logisches Schlußfolgern: Wenn gilt: A --> B, dann gilt auch: (nicht B) --> (nicht A).


    Keine Ahnung, ob Dir das genügt bzw. ob Du damit weiterkommst. HTH!

    Gruß,
    Steffen

  4. Nach oben    #4

    43 Jahre alt
    aus Ulm
    332 Beiträge seit 11/2002
    Zitat Zitat von Haudegen
    also ich versuchs mal

    bei einem Dreieck mit einem rechten Winkel:

    a -> Kathethe
    b -> Gegenkathe
    c -> Hypotenuse

    die Quadrate mit den längen der Katheten (also a²+b²) ist hat zusammen exakt die Fläche des Quadrates mit den längen der Hypothenuse (sprich c²).
    Du hast zwar den Satz des Pythagoras schön in Worten wiedergegeben, ihn aber nicht allgemein bewiesen. ;-)

    Zitat Zitat von Haudegen
    "ohne das der satz ein beweiß für sich selber ist?"

    versteh ich nicht...
    Im Beweis einer Behauptung bzw. eines Satzes darf der Inhalt des Satzes selber nicht verwendet werden. Du darfst im Beweis nur Dinge verwenden, die definiert sind (Axiome) oder aber Sätze und Behauptungen, die bereits bewiesen sind. In einem Beweis führst Du sozusagen eine Aussage (wie z.B. den Satz des Pythagoras) auf einfache, offensichtliche Dinge bzw. auf andere, bereits bewiesene Sätze zurück.

    Ein Beispiel für einen "falschen Beweis", wo genau dies nicht beachtet wird. Angenommen, ich möchte beweisen, dass 3 = 5 ist (was ja Schwachsinn ist).

    Dann könnte ich ja hergehen und einfach hinschreiben:
    [center]3 = 5 (Gl. 1)[/center]

    Daraus wiederum kann ich folgern:
    [center]5 = 3 (Gl. 2)[/center]

    Ich habe schließlich nur die "Gleichung Gl.1" umgedreht. Das ist ja erlaubt. Wenn ich nun hergehe und die beiden "Gleichungen" (die ja eigentlich offensichtlich Unsinn sind) addiere (was man ja auch darf, wenn man es auf beiden Seiten macht), dann steht da:

    [center]5 + 3 = 3 +5[/center]

    Und das vereinfacht sich zu:
    [center]8 = 8[/center]

    Und dass das ("8 = 8") stimmt, bestätigt uns jedes Kind. Also kann man rückschließen und sagen, dass "3 = 5" ist. ;-)

    Nun, wo war der Fehler: Ich habe die (falsche) Aussage "3 = 5" direkt im Beweis selber verwendet: Ich habe im Beweis damit gestartet.

    Wenn ich aber eine Behauptung (wie z.B. den Satz des Pythagoras) beweisen soll, kann ich ihre Korrektheit ja nicht voraussetzen, sondern muss sie zeigen. Eben daher darf ich die möglicherweise falsche Behauptung (so lange sie nicht bewiesen ist, ist sie ja u.U. falsch) im Beweis nicht verwenden. Denn wie das triviale Beispiel mit "3 = 5" zeigt, kann es durchaus vorkommen, dass man aus etwas falschem doch auf etwas Richtiges (hier: "8 = 8") kommt.

    Angenommen, der Satz des Pythagoras sei falsch (was er natürlich nicht ist, aber es geht ja darum, dass derjenige, der den Beweis führt, das nicht im Voraus weiß) und ich will ihn beweisen und mache den Fehler, den Satz im Beweis selber zu verwenden. Dann kann es durchaus passieren, dass der Beweis hinterher logisch korrekt aussieht und man meint, der Satz des Pythagoras sei richtig.

    Daher muss man immer ganz genau darauf achten (und bei komplexen Beweisen kann man da schon mal den Überblick verlieren), dass man die zu beweisende Aussage nicht in deren Beweis verwendet. Das Beispiel mit "3 = 5" zeigt meiner Meinung nach schön, was man hier u.U. falsch machen kann.

    Zitat Zitat von Haudegen
    einfach Zahlen einsetzen ?!
    Eben das ist auch kein Beweis. Es könnte ja sein, dass die Welt so verrückt ist, dass es für 10.000 Zahlen funktioniert, aber für die 10.001. Zahl nicht mehr.

    Du willst es ja allgemein zeigen, und da funktioniert das Einsetzen konkreter Werte nicht. Das wäre dann ein Beispiel, aber kein Nachweis der Korrektheit einer Aussage, die ja für sich in Anspruch nimmt, für alle Zahlen zu funktionieren. Du zeigst damit nämlich nur, dass der Satz für dieses konkrete Beispiel gilt (und das ist ja nicht Sinn der Sache).

    Das Zahlenbeispiel kann aber trotzdem hilfreich sein: Wenn Du nämlich eine Aussage vorgesetzt bekommst, die für sich in Anspruch nimmt, für alle Zahlen zu gelten und Du findest nur ein Gegenbeispiel (also z.B. ein Zahlenpaar, für das die Aussage nicht gilt), dann ist die Aussage falsch. D.h. das Zahlenbeispiel reicht hin, um eine (falsche) Aussage zum Fall zu bringen, aber reicht bei weitem nicht aus, um die Allgemeingültigkeit einer konkreten Aussage zu beweisen.

    Es gibt übrigens in der Mathematik etliche Aussagen, die bis heute nicht bewiesen sind (also "Vermutungen"). Man vermutet, dass sie gelten (weil es z.B. die Erfahrung einem sagt), aber man hat es bislang nicht geschafft, sie formal zu beweisen.
    Man versucht, mit Großrechnern oder Clustern zu testen, ob man irgendwo vielleicht doch einen Widerspruch findet. Aber der Großrechner beweist natürlich gar nichts, denn selbst wenn er ein paar hundert Jahre rechnet und immer weitere Zahlen ausprobiert, sagt dies noch lange nichts über die Allgemeingültigkeit der Vermutung aus. Findet der Rechner aber auch nur eine Zahlenkombination, bei der die Vermutung versagt, kann man den Rechenvorgang getrost abbrechen und die Vermutung verwerfen.

    Ich hoffe, dass es halbwegs klar geworden ist, was ich hier meine. ;-)

    Grüße,
    Steffen

  5. Nach oben    #5
    Angel1
    oxy:gast
    Ich habe die arbeit fertig. Danke für eure Tipps!

  6. Nach oben    #6

    41 Jahre alt
    165 Beiträge seit 03/2003
    Eine Facharbeit an einem Tag? WoW, ich hab an meiner Wochen gesessen

  7. Nach oben    #7
    vip:oxy
    40 Jahre alt
    aus rufezeichen nach dem DOPPELPUNKT
    1.949 Beiträge seit 05/2001
    [edit]falsch... [/edit]

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