Mathe

[beatnut]

Hi, bin hier grad am üben für meine Übergangsprüfung in Analysis und dabei auf was gestoßen, dass ich nicht verstehe.

Wenn etwas mit e^x erklärt wurde, taucht manchmal danach auch ein a^x auf und das kann ich nicht zuordnen. Wofür steht das a?

Das "^" soll dabei nactürlich immer für ein 'hoch' stehen --> e^x = e hoch x

Die Ableitung von ln(a^x) soll zB (a^x)* ln(a) sein und nicht wie ich anfangs dachte (x)*ln(a)

Hab bei den Skizzen leider etwas zu doll geschmiert, aber ich meine zu erkennen, dass die Funktion f(x)=(a^x) der Funktion f(x)=(e^x) ziemlich ähnlich sieht (Im Koordinatensystem)

Weiss jemand, was es damit auf sich hat?

Danke im vorraus

[blubb]

sieht irgendwie nach substitution aus. also a ist in der mathematik immer ne variable, also nie ne feste zahl.

und laut meinem derive ist die ableitung von ln(a^x) => ln(a), was für mich auch logisch erscheint. da innere * äußere ableitung:

innere ableitung: a^x abgeleitet => a^x * ln(a)

äußere ableitung: ln(...) abgeleitet => 1/...

macht dann also a^x * ln(a) * 1/(a^x)

a^x fliegt raus, bleibt ln(a)

analysis is schon länger her und kommt erst wieder im nächsten semester, also ohne gewähr

[beatnut]

ähm, wie kommst du denn auf die innere Ableitung?

Ich hätte das jetzt wie oben angesetzt so gemacht
ln(a^x) = x * ln(a)
und die Ableitung davon ist laut Kettenregel ja:

x * (1/a) + 1 * ln(a) = (x/a) + ln(a)


"Die Ableitung von ln(a^x) soll zB (a^x)* ln(a) sein"

Das steht in der Formelsammlung meines Dozenten (natürlich nicht so formuliert ) und die kriegen seine Studenten schon seit Jahren, das müsste von daher stimmen...

[blubb]

http://www.formel-sammlung.de/formel...n-1-16-23.html

ich bleibe also bei meiner behauptung

[VolcomFacette]

na a is doch ein parameter. einfach ein hilfswert, der für die eine rechnung fest ist und für ne 2. verändert werden kann...
war doch bei kurvenscharen oder?!
hab des auch grad in mathe =)

so far

[Steffen M.]

Hi, bin hier grad am üben für meine Übergangsprüfung in Analysis und dabei auf was gestoßen, dass ich nicht verstehe.

Wenn etwas mit e^x erklärt wurde, taucht manchmal danach auch ein a^x auf und das kann ich nicht zuordnen. Wofür steht das a?

In der Regel steht hier das "a" für eine beliebige, reelle und positive Zahl, das "e" (die Eulersche Zahl) ist ein ganz spezielles "a". Wenn Du z.B. "a=2" wählst, könnte man die Funktion f(t) = 2^t als eine Funktion des exponentiellen Wachstums verstehen, wo es in jeder Zeiteinheit "t" zu einer Verdoppelung (z.B. einer Population) kommt.

Das "^" soll dabei nactürlich immer für ein 'hoch' stehen --> e^x = e hoch x

Die Ableitung von ln(a^x) soll zB (a^x)* ln(a) sein und nicht wie ich anfangs dachte (x)*ln(a)

Zum Ableiten von "f(x) = e^x" gibt es ja eine ganz einfache Ableitungsregel. Wenn Du aber statt "e" eine beliebige Zahl "a" hast, dann geht das nicht mehr ganz so einfach. Du kannst die Funktion aber umschreiben. Das geht, wenn man einsieht, dass "ln" und "exp" gegenseitige Umkehrfunktionen sind, mit anderen Worten: Für jedes reelle x kann man schreiben: x = e ^ (ln (x)).

Statt "x" kann ich nun aber auch "a^x" ansetzen:[code]

f(x) = a ^ x
= e ^ (ln (a^x))[/code]

Nun kann ich aber ein Logarithmengesetz anwenden, nämlich: "ln (a^x) = x * ln (a)". Damit ergibt sich:[code]

= e ^ (x * ln (a))[/code]

Dies wiederum ist aber nun leicht nach x differenzierbar, denn "ln (a)" ist eine Konstante. Wir haben jetzt eine "normale e-Funktion", die eben im Exponenten nicht nur ein "x", sondern auch noch einen konstanten Vorfaktor "ln (a)" stehen hat. Leiten wir also nach x ab:[code]

f(x) = a ^ x
= e ^ (x * ln (a))

d/dx f(x) = d/dx (a ^ x)
= d/dx (e ^ (x * ln (a)))
= e ^ (x * ln (a)) * d/dx (x * ln(a))
= e ^ (x * ln (a)) * ln(a)[/code]

Das kann man nun wieder umschreiben:[code]

= a^(x) * ln(a)[/code]


Du willst aber nun nich "a ^ x" ableiten, sondern "ln (a ^ x)". Hier sehe ich spontan zwei Möglichkeiten.

Möglichkeit 1:[code]

ln (a ^ x) = x * ln(a)

d/dx (x * ln(a)) = ln(a)[/code]

Ich nutze zuerst das Logarithmengesetz, das ich oben schon mal verwendet habe, aus und ziehe das "x" vor. Danach habe ich die Ableitung von "x * ln(a)" - da "ln(a)" hier als Konstante angesehen werden kann (ich leite ja nach "x" ab), ist es im Prinzip ganz trivial.

Möglichkeit 2:[code]

ln (a ^ x) = ln (e ^ (x * ln (a)))

d/dx (ln (e ^ (x * ln (a))))
= 1 / (e ^ (x * ln (a))) * d/dx (e ^ (x * ln (a)))
= 1 / (e ^ (x * ln (a))) * (e ^ (x * ln (a))) * d/dx (x * ln (a))
= 1 / (e ^ (x * ln (a))) * (e ^ (x * ln (a))) * ln (a)
= (e ^ (x * ln (a))) / (e ^ (x * ln (a))) * ln (a)
= 1 * ln (a)
= ln (a)[/code]

Ich bekomme also als Ableitung für "ln (a^x)" bei beiden Wegen "ln (a)" heraus. Das bestätigt mir auch z.B. Maple. Du (bzw. Dein Dozent) hast aber "(a^x) * ln (a)" heraus. Hast Du evtl. "a^x" abgeleitet anstelle von "ln (a^x)"?

Hab bei den Skizzen leider etwas zu doll geschmiert, aber ich meine zu erkennen, dass die Funktion f(x)=(a^x) der Funktion f(x)=(e^x) ziemlich ähnlich sieht (Im Koordinatensystem)

Ja, tut sie auch, da ja "a ^ x" auch eine Exponentialfunktion ist und sogar sehr leicht mit der Basis "e" geschrieben werden kann (wie schon oben gezeigt): "a^x = e ^ (x * ln (a))".

Danke im vorraus

Ich hoffe, dass ich Dir hiermit weiterhelfen konnte und mich nicht verrechnet habe. Ansonsten korrigiere man mich bitte.

Gruß,
Steffen