Differentialrechnung

[alibendali]

Hallo!
Ich hab leider n problem mit meiner Mathehausaufgabe. Wir haben in der letzten Doppelstunde das Thema Differentialrechnung angefangen. Im Unterricht hab ich soweit auch alles verstanden, aber irgendwie komme ich mit den Aufgaben alleine nicht klar. Hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
Also:

1) a) Bestimmen Sie die Änderungsraten von f mit f(x)= 0,5x²-x in den Intervallen [t-1;t], [t;t+1] und [t-1;t+1].
b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den drei Änderungsraten aus a)?

2)Gegeben ist für x>0 die Funktion f mit f(x)=log2x (= logarithmus von x zur Basis 2)
a) Zeigen Sie, dass f im Intervall [a;2a] die Änderungsrate 1/a besitzt.
b) Berechnen Sie mit a) die Änderungsrate von f in [1/4;1/2], [1;2] und [4;8]
c) Berechnen Sie mit der linearen Funktion g mit g(4) = f(4) und g(8) = f(8) einen auf 3 Dezimalstellen gerundeten Näherungswert für log von 6 zur Basis 2 und log von 7 zur Basis 2.

Bei Aufgabe 1 weiss ich gar nicht, wie ich anfangen soll, bei 2 habe ich wenigstens a und b gelöst. Hier mal mein Weg:

a) x>0, I=[a;2a]
f(a) = log2a
f(2a)= log22a = log22 + log2a = 1+log2a

m= f(2a)-f(a)/2a-a = 1/a

b) nach a) I=[a;2a]; m= 1/a

I1 [1/4;1/2], a=1/4, m1=4
I2 [1;2], a=1, m2=1
I3 [4;8], a=4, m3=1/4

c) bei c komme ich leider nur so weit:

f(x) = log2x

f(4) = log24 = 2
f(8) = log 28 = 3

m= 3-2/8-4 = 1/4

g:y=mx+n, m=1/4, P(4|2], Q(8|3)

2= 1/4x4+n
n=1 --> g: y=1/4x+n
...und jetzt?

Also ich hoffe, dass mir jemand so fleissig war, sich das alles durchzulesen und hoffe auf schnelle Hilfe.

Vielen Dank schonmal im Vorraus!

[dorkey]

in den nächsten stunden wirst eine ganz ausführliche lösung von steffen bekommen

[Steffen M.]

Hallo,

Also:

1) a) Bestimmen Sie die Änderungsraten von f mit f(x)= 0,5x²-x in den Intervallen [t-1;t], [t;t+1] und [t-1;t+1].

Hundertprozentig sicher bin ich mir nicht, was ich hier machen soll. Ich würde hier einfach die Geradensteigung der Sekante ausrechnen. Also im Grunde so ansetzen (für das Intervall [t-1;t]):[code]
f(t) - f(t-1)
m = ------------- = ....
t - (t - 1)
[/code]Einsetzen kannst Du das selber, und für das Intervall [t-1;t] sollte dann als Sekantensteigung rauskommen: m = t - 1/2. D.h., wenn Du Dir eine Stelle a auf der Parabel vorgibst, dann hast Du zwischen a-1 und a eine Sekante mit der Steigung a - 1/2.

Analog kannst Du das für die anderen Intervalle machen.

b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den drei Änderungsraten aus a)?

Hm, da könnte man mehrere Dinge sehen. Z.B. dass "weiter außen" (für die x-Achse gesprochen) die Sekante stärker steigt bzw. fällt, als näher am Scheitel der Parabel. Man kann aber genausogut sehen, dass t in die Sekantengleichung linear eingeht.

2)Gegeben ist für x>0 die Funktion f mit f(x)=log2x (= logarithmus von x zur Basis 2)
a) Zeigen Sie, dass f im Intervall [a;2a] die Änderungsrate 1/a besitzt.

Das sollte so passen.

b) Berechnen Sie mit a) die Änderungsrate von f in [1/4;1/2], [1;2] und [4;8]

Jep, hier kannst Du das in a) bewiesene Resultat verwenden, da die Intervalle ja alle von der Form [a;2a] sind.

c) Berechnen Sie mit der linearen Funktion g mit g(4) = f(4) und g(8) = f(8) einen auf 3 Dezimalstellen gerundeten Näherungswert für log von 6 zur Basis 2 und log von 7 zur Basis 2.

c) bei c komme ich leider nur so weit:

f(x) = log2x

f(4) = log2 4 = 2
f(8) = log2 8 = 3

m = (3-2)/(8-4) = 1/4

g:y=mx+n, m=1/4, P(4|2), Q(8|3)

2= 1/4x4+n
n=1 --> g: y=1/4x+n
...und jetzt?

Wenn Du die Geradengleichung für sie Sekante hast (und die scheint soweit richtig zu sein), kannst Du doch einfach einen Näherungswert für den logarithmus dualis von 6 und von 7 durch Einsetzen für x ausrechnen.

Ich weiß nicht, ob wirklich das so gemeint ist, aber etwas Anderes kann ich aus der Aufgabenstellung nicht herauslesen. Ich nehme an, es geht darum, sich einfach mit der Steigung einer Sekanten zu beschäftigten, bevor Ihr dann den Limes drauf los lasst und aus der Sekante eine Tangente macht.

HTH,
Steffen

[xXxstefanxXx]

Hallo,

Hundertprozentig sicher bin ich mir nicht, was ich hier machen soll. Ich würde hier einfach die Geradensteigung der Sekante ausrechnen. Also im Grunde so ansetzen (für das Intervall [t-1;t]):[code]
f(t) - f(t-1)
m = ------------- = ....
t - (t - 1)
[/code]Einsetzen kannst Du das selber, und für das Intervall [t-1;t] sollte dann als Sekantensteigung rauskommen: m = t - 1/2. D.h., wenn Du Dir eine Stelle a auf der Parabel vorgibst, dann hast Du zwischen a-1 und a eine Sekante mit der Steigung a - 1/2.

Analog kannst Du das für die anderen Intervalle machen.

Hm, da könnte man mehrere Dinge sehen. Z.B. dass "weiter außen" (für die x-Achse gesprochen) die Sekante stärker steigt bzw. fällt, als näher am Scheitel der Parabel. Man kann aber genausogut sehen, dass t in die Sekantengleichung linear eingeht.

Das sollte so passen.

Jep, hier kannst Du das in a) bewiesene Resultat verwenden, da die Intervalle ja alle von der Form [a;2a] sind.

Wenn Du die Geradengleichung für sie Sekante hast (und die scheint soweit richtig zu sein), kannst Du doch einfach einen Näherungswert für den logarithmus dualis von 6 und von 7 durch Einsetzen für x ausrechnen.

Ich weiß nicht, ob wirklich das so gemeint ist, aber etwas Anderes kann ich aus der Aufgabenstellung nicht herauslesen. Ich nehme an, es geht darum, sich einfach mit der Steigung einer Sekanten zu beschäftigten, bevor Ihr dann den Limes drauf los lasst und aus der Sekante eine Tangente macht.

HTH,
Steffen

Ich hab zwar auch abi irgendwie geschafft , aber schon damals bei dieser Sache hier Kopfschmerzen bekommen :-)