An die Mathegenies:

[Emila]

Warum kommt bei folgender Aufgabenstellung immer die Zahle 1089 raus? (ins seltenen Fällen kann auch die Zahl 1090 rauskommen)

Aufgabenstellung:
Man nimmt eine beliebige 3-stellige Zahl, z.B. 631 und schreibt diese dann umgekehrt auf. Also 136.
Die ursprüngliche Zahl 631 subtrahiere ich mit der 136. Ergebnis: 495

Das Endergebnis 495 schreibt man nun auch umgekehrt hin, sodass die Zahl nun 594 ist.
Die Zahlen 495 und 594 werden nun zusammenaddiert. Ergebnis: 1089

Warum ist das so? Man kann wie oben bereits schon erwähnt eine beliebige 3-stellige Zahle verwenden und es kommt hauptsächlich immer 1089 als Endergebnis raus. Warum???
Kann mir das jemand bitte erkären?
Kann es sein, dass dies evtl. etwas mi dem 9er 1x1 zu tun hat?

Wäre für Antworten wirklich dankbar!!!

[Steffen M.]

Warum kommt bei folgender Aufgabenstellung immer die Zahle 1089 raus? (ins seltenen Fällen kann auch die Zahl 1090 rauskommen)

Also ich habe es nachgerechnet und nie die 1090 rausgekriegt (wo kriegst Du die denn raus?) - für alle dreistelligen Zahlen kam ich auf die 1089. Gut, wenn Du Zahlen nimmst, deren erste und letzte Ziffer gleich sind (z.B. 454), kommst Du natürlich auf Null.

Aufgabenstellung:
Man nimmt eine beliebige 3-stellige Zahl, z.B. 631 und schreibt diese dann umgekehrt auf. Also 136.
Die ursprüngliche Zahl 631 subtrahiere ich mit der 136. Ergebnis: 495

Es lässt sich leicht zeigen, dass Du hier immer Vielfache der Zahl "99" rauskriegst. Egal, was Du nimmst. Zeigen kannst Du es, in dem Du eine Zahl wie folgt darstellst ("a" ist die linke, also die Hunderterziffer, "b" die mittlere, also die Zehnerziffer und "c" die rechte, die Einerziffer):[code]
a * 10^2 + b * 10 + c[/code]Und dann allgemein rechnest:[code]
(a * 10^2 + b * 10 + c) - (c * 10^2 + b * 10 + a)[/code]Du wirst als Ergebnis dieser Differenz immer bekommen:[code]
= 99 * (a - c)[/code]Logischerweise fällt die mittlere Ziffer "b" im Resultat stets raus. Wichtig ist hier, dass Du immer Vielfache von "99" produzierst. Welches Vielfache hängt vom Aufbau Deiner Zahl ab, die Du einsetzt, genauer gesagt - vom Unterschied zwischen der linken und der rechten Ziffer.

Also kann man sich ja mal den Spaß machen und alle Vielfachen von "99" mal hinschreiben:[code]
1 * 99 = 099
2 * 99 = 198
3 * 99 = 297
4 * 99 = 396
5 * 99 = 495
6 * 99 = 594
7 * 99 = 693
8 * 99 = 792
9 * 99 = 891
10 * 99 = 990[/code]Es fällt hier auf, dass auch hier die mittlere Ziffer stets eine "9" ist. Aber es fällt noch etwas auf: die erste Ziffer und die letzte Ziffer der Vielfachen von "99" ergänzen sich stets auch zur "9".

Das Endergebnis 495 schreibt man nun auch umgekehrt hin, sodass die Zahl nun 594 ist.
Die Zahlen 495 und 594 werden nun zusammenaddiert. Ergebnis: 1089

Wie schon gesagt - in diesem zweiten Schritt können nur die "99er"-Zahlen, die ich oben hingeschrieben habe, in Frage kommen.

Jetzt kann man, weil es nur diese endlich vielen Möglichkeiten gibt, den Beweis natürlich einfach gestalten: Du kannst einfach alle zehn "99er"-Zahlen hernehmen und eben diesen Schritt 2 mit ihnen machen, also z.B. "792 + 297" oder "693" + "396". Und jedes Mal bekommst Du gerade die "1089", was ja nicht verwunderlich ist. Damit wäre die Vermutung bewiesen.

Du kannst es Dir auch so überlegen: Alle diese "99er"-Zahlen sind irgendwo symmetrisch aufgebaut: die Mitte ist immer "9" und liefert bei der Addition mit dem rückwärtsgelesenen Partner stets eine "18", also eine "Hundertachtzig" (weil sie an der zweiten Stelle steht). Die rechte Seite liefert bei der Addition immer eine "9", da sich die linke und die rechte Stelle immer zu einer "9" ergänzen. Und ganz links gibt es aus dem selben Grund bei der Addition mit dem "Rückwärtspartner" stets eine "900". Also bleiben:[code]900 + 180 + 9 = 1089[/code] für alle Zahlen.

Man kann sich die Zahlen ja zerlegt vorstellen, z.B. die "693" und darunter der Parntner "396":[code]
693 = 600 + 90 + 3
396 = 300 + 90 + 6[/code]Hier müsste nun wirklich klar sein, was bei der Addition genau passiert - nur in der Mitte gibt es mit den "180" einen Übertrag, links und rechts kommt man auf "9" bzw. "900".

Warum ist das so? Man kann wie oben bereits schon erwähnt eine beliebige 3-stellige Zahle verwenden und es kommt hauptsächlich immer 1089 als Endergebnis raus. Warum???

Der eigentliche Trick passiert bereits im ersten Schritt - Du erhältst immer Vielfache von "99", das kannst Du durch diese Differenzrechnung ganz allgemein für alle dreistelligen Zahlen nachprüfen. Im zweiten Schritt dann sind es dann hauptsächlich die Eigenschaften des Neuner-Einmaleinses (auch bei "9", "18", 27", usw.) gibt die Quersummer ja immer "9" - und die "9" steckt halt auch bei "99" mit drin, da 99 = 9 * 11.

Kann mir das jemand bitte erkären?
Kann es sein, dass dies evtl. etwas mi dem 9er 1x1 zu tun hat?

Ich hoffe, dass es halbwegs klar geworden ist, und ja, es hat mit dem Einmaleins der "9" zu tun, wobei Du Dir eben im ersten Schritt die passenden "99er" quasi erzeugst. Und für "99" sieht das Einmaleins ganz ähnlich aus wie für "9": Das, was Du an der rechten Ziffer runterzählst, zählst Du links hoch, und die Quersummer bleibt immer "18".

Ich freue mich auf Rückmeldungen und kritische Hinweise!

Euch allen frohe Ostern!

Gruß,
Steffen

[Viviane]

aber warum erhalte ich immerv ielfache von 99?

[Steffen M.]

aber warum erhalte ich immerv ielfache von 99?

Du ziehst ja im ersten Schritt von der Zahl "abc" die Zahl "cba" ab. Man kann Zahlen ja aus ihren Ziffern und Zehnerpotenzen schreiben, z.B.:[code]
546 = 5*100 + 4*10 + 6*1[/code]Mit Exponenten:[code]
546 = 5*10^2 + 4*10^1 + 6*10^0[/code]Das zeichnet ja gerade unser Stellenwertsystem aus (in anderen Zahlensystemen hast Du halt keine "10", sondern z.B. eine "16" - das wäre dann das Hexadezimalsystem).

Wenn wir nun eine dreistellige Zahl "abc" hernehmen (wobei "a","b" unc "c" einfach die Ziffern sind - also kein Produkt!), dann können wir schreiben:[code]
abc = a * 100 + b * 10 + c[/code]Im ersten Schritt wird von "abc" die Zahl "cba" abgezogen, das heißt:[code]
abc - cba
= (a*100 + b*10 + c) - (c*100 + b*10 + a)
= 100a - a + 10b - 10b + c - 100c
= 99a - 99c
= 99*(a-c)[/code]Das führt dazu, dass Du nur Null oder Vielfache von "99" bekommst, denn die Klammer (a-c) liefert ja nur irgendwelche ganzen Zahlen zwischen "0" und "9" - nämlich die Differenz der ganz linken und der ganz rechten Ziffer Deiner Ausgangszahl.

Also rufst Du nur Einträge des "99er"-Einmaleins ab - und nur mit denen gehst Du in den zweiten Schritt.

Grüße,
Steffen

[noname]

sehr gut erklärt

[Viviane]

ok, thx, kapiert