Mathe mal wieder

[quite-nice]

Hallo, hab n Problem bei einer Aufgabe.

Lineare Algebra mit analytischer Geometrie (Lambacher Schweizer)
Thema: Abstand eines Punktes von einer Ebene

Folgende Aufgabe bereitet mir Probleme

Gegeben sind die Punkte A (3|3|2), B (5|3|0), C (3|5|0) und O (0|0|0).
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist. Berechnen Sie seinen Flächeninhalt.
b) O ist die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche ABC. Bestimmen Sie den Fußpunkt F der Pyramidenhöhe. Berechnen Sie den Abstand der Punkte O und F.

Könnte mir jemand erklären wie ich vorgehen muss?

[KonkretesWeed]

hmm is schon n stück her...ich gebe keine garnantie das es auch nur anstatzweise richtig ist!

erstmal punkte a,b,c eintragen ---->verbinden, ausrechnen wirst ja wohl selbst wissen. nur ich kapier nicht wo O (0|0|0) sein soll...
hmm gut weis nicht weiter...

[quite-nice]

Danke für deine Mühe erst mal.
Aber die Aufgabe muss irgendwie mit Vektorrechnung und Linearkombination gelöst werden, denk ich. Und ich check das nicht

[H3Nn355Y]

hmm is schon n stück her...ich gebe keine garnantie das es auch nur anstatzweise richtig ist!

erstmal punkte a,b,c eintragen ---->verbinden, ausrechnen wirst ja wohl selbst wissen. nur ich kapier nicht wo O (0|0|0) sein soll...
hmm gut weis nicht weiter...

im ursprung?

[Mecki]

Ich würde die Strecken AB, BC und CA ausrechnen. wenn die alle gleich lang sind, hättest du schonmal gleichlange Seiten.
Für den Fußpunkt musst du eine Geradengleichung finden, die als Richtungsvektor den Normalenvektor hat und den Abstand des Punktes O zur Ebene hat.
Also würde ich die Ebenengleichung des Dreiecks ABC aufstellen und davon den Normalenvektor bestimmen.

[Steffen M.]

Hallo, hab n Problem bei einer Aufgabe.

Ich versuch's mal...

Gegeben sind die Punkte A (3|3|2), B (5|3|0), C (3|5|0) und O (0|0|0).
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist.

Das sollte machbar sein, in dem wir zeigen, dass alle drei Seiten gleich lang sind. Wir müssen also zuerst die Vektoren AB, BC und CA aufstellen, das sind einfach die Wege von A nach B, von B nach C und von C nach A (durch komponentenweises Abziehen der Koordinaten der Punkte):[code] Vektor_AB = (2,0,-2)
Vektor_BC = (-2,2,0)
Vektor_CA = (0,-2,2)[/code]
Die Längen (Beträge) der Vektoren erhält man nach Pythagoras dadurch, dass man die einzelnen Komponenten quadriert, aufsummiert und am Schluss die Wurzel zieht. Also:[code] |Vektor_AB| = Wurzel(2^2 + 0^2 + (-2)^2) = Wurzel(8)
|Vektor_BC| = Wurzel((-2)^2 + 2^2 + 0^2) = Wurzel(8)
|Vektor_CA| = Wurzel(0^2 + (-2)^2 + 2^2) = Wurzel(8)[/code]
Demnach sind alle drei Seiten gleich lang, nämlich Wurzel(8) Längeneinheiten. Die Gleichseitigkeit des Dreiecks wäre damit bewiesen.

Berechnen Sie seinen Flächeninhalt.

Nun zum Flächeninhalt: Im dreiseitigen Dreieck gilt (leicht herzuleiten mit Hilfe des Satzes von Pythagoras und der allgemeinen Formel für die Dreiecksfläche): A = a^2 / 4 * Wurzel(3). A ist der Flächeninhalt und a die Seitenlänge (hier: Wurzel(8)). Damit ist das Problem zu lösen.

b) O ist die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche ABC. Bestimmen Sie den Fußpunkt F der Pyramidenhöhe. Berechnen Sie den Abstand der Punkte O und F.

Die Dreiecksfläche kannst Du ja als Teil einer Ebenen auffassen. Mit anderen Worten: A, B und C spannen eine Ebene auf. Die Ebene kann man angeben, in dem man sich einen Stützvektor sucht und dann zwei Richtungsvektoren von diesem Stützvektor ausgehend zu Punkten, die auf der Ebenen liegen, nimmt.

Nehmen wir A als Stützvektor und die Vektoren von AB und AC als Richtungsvektoren. Dann erhalten wir -wenn ich mich in der Eile nicht verrechnet habe- als Parametergleichung für die Ebene:[code] E: Vektor_x = (3,3,2) + s*(2,0,-2) + t*(0,2,-2)[/code]
Für den (kürzesten) Abstand des Punktes O (0,0,0) von der Ebene E berechnen wir nun ein Lot, also eine Gerade, die senkrecht zur Ebene E steht und durch den Punkt O(0,0,0) geht. Wir können dazu den Richtungsvektor von O(0,0,0) als Stützvektor für die zu findende Lotgerade nehmen. Damit geht die Lotgerade in jedem Fall durch O(0,0,0). Als Richtungsvektor für die Lotgerade nehmen wir den Normalenvektor der Ebene - das ist Vektor, der senkrecht auf der Ebenen steht (und noch von uns gefunden werden muss). Haben wir die Lotgerade gefunden, dann schneiden wir sie mit der Ebenen und bekommen einen Schnittpunkt - auch Fußpunkt oder Höhenfußpunkt F genannt. Anschließend berechnen wir noch die Streckenlänge zwischen Punkt O(0,0,0) und dem Fußpunkt F.

Zuerst müssen wir den Normalenvektor der Ebene finden, also eine "Richtung", die einfach senkrecht auf der Ebenen steht.

Das geht einfach, indem man das Kreuz- oder Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene E bildet. Damit ergibt sich der Normalenvektor zu: (4,4,4). Dieser Vektor steht senkrecht auf den Vektoren (2,0,-2) und (0,2,-2). Damit steht (4,4,4) senkrecht auf der Ebene E.

Nun zur Lotgeraden: Wir wissen, welche Richtung sie im Raum hat - eben (4,4,4). Denn sie muss senkrecht zur Ebene E stehen. Also ist ihr Richtungsvektor (4,4,4). Ihr Ortsvektor ist (0,0,0), denn dieser Punkt liegt auf der Lotgeraden. Also heißt die Gleichung der Lotgeraden:[code] g: Vektor_x = (0,0,0) + u*(4,4,4)[/code]
Nun brauchen wir den Fußpunkt. Das ist der Schnittpunkt der Lotgeraden g mit der Ebene E.

Also setzen wir die Parametergleichungen von g und l gleich:[code] (0,0,0) + u*(4,4,4) = (3,3,2) + s*(2,0,-2) + t*(0,2,-2)[/code]
Wir fächern die Vektorgleichung in Komponenten auf und erhalten ein lineares Gleichungssystem bestehend aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten:[code] 0 + 4u = 3 + 2s + 0t
0 + 4u = 3 + 0s + 2t
0 + 4u = 2 - 2s - 2t[/code]
Dieses Gleichungssystem kann man nun lösen (ganz systematisch mit dem Gaußalgorithmus). Man erhält dann Lösungen für u, s und t.

Die Werte für "s" und "t" setzen wir in die Ebenengleichung ein und fassen sie in einem Ergebnisvekto zusammen. Das ist dann der Ortsvektor des Fußpunkts. Jetzt brauchen wir noch den Abstand zwischen O und F. Also die Länge bzw. den Betrag des Vektors OF. Das ist jetzt aber vollends einfach, denn nichts Anderes haben wir im ersten Teil der Aufgabe bereits gemacht, als wir die Gleichseitigkeit des Dreiecks nachgewiesen haben.

Ich habe mangels Zeit nicht alles ausgerechnet, aber ich denke Du hast zumindest damit einen Weg, der zum Ziel führen sollte. Im Grunde ist es aber das, was Mecki auch schon geschrieben hat.

Gruß,
Steffen

[H3Nn355Y]

Ich versuch's mal...

ich wär mal echt zu faul gewesen des über 3 seiten oder so zu erklärn