Vektorrechnung *aaarg*

[Maureen]

Heyhallo, ich sitz mal wieder an meinen Mathehausaufgaben fest, obwohl wir mit dem Thema Vektorrechnung gerade erst angefangen haben und die Aufgaben eigentlich recht leicht für mich sein müssten.

Vielleicht kann mir jemand von euch helfen?


(1) Welche der folgenden Gleichungen stellen dieselbe Gerade dar?

g: pfeil über x = (0|0|0) + k* (-1|0|2)
h: pfeil über x = (2|0|-4) + k* (1,5|0|-3)
l: pfeil über x = (-4|1|8) + k* (1-2|0|4)
m: pfeil über x = (2|2|2) + k* (1-1|0|2)

Also g und m sind ja schon mal die gleichen Geraden, haben nur einen unterschiedl. Ursprung - aber weiter weiß ich nicht


(2) Gib eine Parameterdarstellung der Geraden durch den Punkt A mit der Richtung des Vektors ("pfeil über v") an.

a) A (2|3|-1); pfeil über v = (3|1|-4)
b) A (-1|0|3); pfeil über v = (1|1|1)

Welche Geradenpunkte sind von A um 2*pfeil über v bzw. -3*pfeil über v entfernt?


Soa das wärs...Bitte hiiiilfe

[Steffen M.]

Heyhallo, ich sitz mal wieder an meinen Mathehausaufgaben fest, obwohl wir mit dem Thema Vektorrechnung gerade erst angefangen haben und die Aufgaben eigentlich recht leicht für mich sein müssten.

Vielleicht kann mir jemand von euch helfen?


(1) Welche der folgenden Gleichungen stellen dieselbe Gerade dar?

g: pfeil über x = (0|0|0) + k* (-1|0|2)
h: pfeil über x = (2|0|-4) + k* (1,5|0|-3)
l: pfeil über x = (-4|1|8) + k* (1-2|0|4)
m: pfeil über x = (2|2|2) + k* (1-1|0|2)

Also g und m sind ja schon mal die gleichen Geraden, haben nur einen unterschiedl. Ursprung - aber weiter weiß ich nicht

Nein, so solltest Du es nicht formulieren...

Vielmehr heißt es: "g" hat als Stützvektor (0|0|0) und als Richtungsvektor (-1|0|2). Das heißt "auf deutsch": Die Gerade "g" geht durch den Punkt mit dem Ortsvektor (0|0|0) - also durch den Ursprung. Dieser Punkt stützt sozusagen die Gerade (man hätte als Stützpunkt auch jeden anderen Punkt, der auf der Geraden "g" liegt, nehmen können). Und dann läuft sie in Richtung (-1|0|2) los, dieses "k mal" generiert Dir alle Punkte, die "in Richtung" (-1|0|2) liegen. Diese Parametergleichung erzeugt Dir also sozusagen alle Punkte, die auf der Geraden liegen. Man fängt am Stützpunkt an und lässt dann den Paramter "k" (beliebig dicht) laufen. Dieser multipliziert mit dem Richtungsvektor erzeugt dann alle Punkte in Richtung des Richtungsvektors, also eine Gerade.

Mal davon ausgehend, dass bei "m" der Richtungsvektor auch (-1|0|2) heißt und das (1-1|0|2) nur ein Tippfehler ist, kann man zu dem Schluss kommen, dass "g" und "m" den selben Richtungsvektor haben. Sie bewegen sich also in die selbe Richtung. Sie sind also auf jeden Fall parallel (oder sogar gleich). Ob sie aber wirklich die selbe Gerade sind oder "nur" parallel, muss erst noch untersucht werden.

Wie macht man das am geschicktesten?

Wir können ja z.B. "g" mal anschauen und nachprüfen, ob sie durch den Stützpunkt von "m" geht.

"g" wird von (0|0|0) abgestützt. Also "setzen" wir uns mal auf diesen Punkt (0|0|0), also auf den Ursprung, drauf. Jetzt lassen wir die k's mal loslaufen und schauen, ob die Gerade "g" irgendwann durch den Stützpunkt von "m" (2|2|2) geht oder nicht. Denn wenn "g" die selbe Gerade wie "m" ist, dann muss ja irgendwann "g" durch den Stützpunkt von "m" gehen.

Mit anderen Worten: Finde ein "k", sodass folgende Gleichung gilt:[code](2|2|2) = (0|0|0) + k * (-1|0|2)[/code]

Wir können dieses linearre Gleichungssystem komponentenweise "auffächern" und erhalten dann drei Gleichungen:[code]2 = 0 + k * (-1)
2 = 0 + k * 0
2 = 0 + k * 2[/code]Die zweite Gleichung lautet vereinfacht "2=0". Das kann durch kein "k" erfüllt werden, also liegt der Stützvektor von "m" (2|2|2) nicht auf "g". Da aber (natürlich) der Stützvektor von "m" auf "m" liegt (sonst würde er sie ja nicht stützen), sind "g" und "m" nicht die selbe Gerade, sondern einfach zwei parallele Geraden.

Wir sind aber noch nicht fertig. Denn die Geraden "h" und "l" sind auch Kandidaten!

Denn "l" hat als Richtungsvektor ja gerade ein Vielfaches des Richtungsvektors von "g" oder "m" (mal wieder davon ausgehend, dass der Richtungsvektor von "l" lautet: (2|0|4)), denn (-2|0|4) = 2 * (-1|0|2). Ebenso hat "h" ein Vielfaches des Richtungsvektors von "g": (1,5|0|-3) = -1,5 * (-1|0|2).

Also laufen "g", "h", "l" und "m" in die selbe Richtung! Mit anderen Worten: Alle vier Geraden sind parallel, auch wenn man das auf den ersten Blick nur bei "g" und "m" sieht. Man muss also, um Parallelität zu testen, nicht nur prüfen, ob der Richtungsvektor gleich lautet, sondern ob er vielleicht bis auf ein Vielfaches gleich lautet. Denn Vielfache ändern ja nichts an der Laufrichtung einer Geraden.

Daher habe ich ganz oben nach Deiner Ausssage: '"g" und "m" seien schon mal gleich' interveniert... "g" und "m" sind "nur" parallel (da der Stützpunkt von "m" nicht auf "g" liegt). Aber zueinander parallel sind sogar alle vier Geraden, da die Richtungsvektoren der vier Geraden alle zueinander linear abhängig sind (also bis auf Vorfaktoren gleich sind).

Wir wissen also: "g" || "h" || "l" || "m". Und wir wissen, dass "g" nicht identisch mit "m" ist.

Zu prüfen ist jetzt noch:

- Sind "g" und "h" identisch (d.h. liegen sie aufeinander)?
- Sind "g" und "l" identisch?
- Sind "h" und "l" identisch?
- Sind "h" und "m" identisch?
- Sind "l" und "m" identisch?

Also prüfen wir, ob der Stützvektor von "h" auf "g" liegt, also ob:[code](2|0|-4) = (0|0|0) + k * (-1|0|2)[/code]Und siehe da: dieses Gleichungssystem ist lösbar: k = -2 löst es. Mit anderen Worten: "g" und "h" sind parallel und haben mindestens einen gemeinsamen Punkt, denn der Stützvektor von "h" liegt auf "g". Also müssen "g" und "h" identisch sein!

Das vereinfacht jetzt die noch offenen Prüfungen, da wir "g" und "h" gemeinsam behandeln können. Wir müssen nur noch prüfen:

- Sind "g" und "l" identisch?
- Sind "l" und "m" identisch?

Das macht man ganz analog und stellt fest, dass sie es nicht sind.

Mit anderen Worten: Parallel sind alle vier Geraden. "g" und "h" liegen sogar aufeinander.

(2) Gib eine Parameterdarstellung der Geraden durch den Punkt A mit der Richtung des Vektors ("pfeil über v") an.

a) A (2|3|-1); pfeil über v = (3|1|-4)
b) A (-1|0|3); pfeil über v = (1|1|1)

Hm, ja einfach hinschreiben:
a) g: Vector_x = (2|3|-1) + k * (3|1|-4)
b) h: Vector_x = (-1|0|3) + k * (1|1|1)

Welche Geradenpunkte sind von A um 2*pfeil über v bzw. -3*pfeil über v entfernt?

Einfach in die Gleichungen für "k" den Wert "2" oder "-3" einsetzen und ausrechnen, also z.B. so:[code](2|3|-1) + 2 * (3|1|-4) = (2|3|-1) + (6|2|-8) = (8|5|-9). Das wäre dann die Lösung für "k=2" in der Geraden "g" (also Aufgabe a)). Das selbe machst Du mit "-3" statt mit "2" und dann noch analog in Aufgabe b).

Ich hoffe, mich halbwegs verständlich ausgedrückt und mich nicht verrechnet zu haben...

Gruß,
Steffen

[Phalanx]

hihihi dir muss ja ganzschön langweilig gewesen sein...

[Maureen]

Wir sind aber noch nicht fertig. Denn die Geraden "h" und "l" sind auch Kandidaten!

Denn "l" hat als Richtungsvektor ja gerade ein Vielfaches des Richtungsvektors von "g" oder "m" (mal wieder davon ausgehend, dass der Richtungsvektor von "l" lautet: (2|0|4)), denn (-2|0|4) = 2 * (-1|0|2). Ebenso hat "h" ein Vielfaches des Richtungsvektors von "g": (1,5|0|-3) = -1,5 * (-1|0|2).

l sollte folgendermaßen lauten:

l: pfeil über x = (-4|1|8) + k* (-2|0|4)

das heißt doch dann, dass l nicht identisch mit g/h/m sein kann, oder?

und was genau übersetzt heißt jetzt parametergleichung?

DANKE FÜR DIE ÜBERAUS AUSFÜHRLICHEN UND GUT NACHZIEHBAREN LÖSUNGEN

[Steffen M.]

l sollte folgendermaßen lauten:

l: pfeil über x = (-4|1|8) + k* (-2|0|4)

Okay... Ich hatte auch damit gerechnet, allerdings es einmal falsch hingeschrieben - nämlich (2|0|4) statt (-2|0|4)...

das heißt doch dann, dass l nicht identisch mit g/h/m sein kann, oder?

Das kannst Du so nicht folgern. "l" ist zumindest parallel zu den anderen. Denn sie geht in die selbe Richtung wie die anderen, da (-2|0|4) eben ein Vielfaches der Richtungsvektoren der anderen Geraden ((-1|0|2) für g sowie m und (1,5|0|-3) für h) ist.

Wenn Du weißt, dass "l" in die selbe Richtung geht wie "g", "h" und "m", dann laufen sie entweder nebeneinander oder liegen aufeinander. Um das zu prüfen musst Du halt schauen, ob eine der anderen Geraden (z.B. "g") durch einen Punkt der Geraden "l" geht. Falls ja, müssen sie identisch sein.

Mit anderen Worten: Ganz so einfach kann man's nicht sagen. Man muss prüfen, ob die Richtungsvektoren zweier Geraden Vielfache sind (man sagt auch: "linear abhängig" sind), dann weiß man, dass sie zumindest "in die selbe Richtung" gehen, also parallel sind.

Um dann noch zu prüfen, ob zwei Geraden eben "nur parallel" sind oder sogar identisch sind, prüft man dann, ob die eine Gerade durch mindestens einen Punkt der anderen Geraden geht (dazu nimmt man z.B. den Stützpunkt der einen Geraden, denn das ist ja ein Punkt auf der einen Geraden).

und was genau übersetzt heißt jetzt parametergleichung?

Eine Gleichung, in der ein Laufparameter (der heißt in Deinen Aufgaben "k") die geometrische Figur -hier eine Gerade- erzeugt. Man startet am Stützpunkt (man gelangt über den Stützvektor zu ihm) und läuft dann in die Richtung des Richtungsvektors los.

Dieses "k" denkt man sich beliebig weit und belienbig dicht laufend. Dann erzeugt es ja eine Gerade, da man immer weiter in Richtung der Vielfachen des Richtungsvektors geht ("k" wird ja mit dem Richtungsvektor multipliziert). Natürlich läuft "k" auch ins negative Unendliche, sonst gäbe es nur eine Halbgerade. Und wenn Du "k" nicht "dicht" laufen lassen würdest, sondern Dir z.B. nur natürliche oder ganze Zahlen für die k's eingesetzt denken würdest, dann hättest Du halt keine durchgehende Gerade, sondern ein ziemlich "löchriges Gebilde", das von der Form her wie eine Gerade verläuft.

Ich denke, Dir ist hier klar geworden, was der Parameter bezweckt. Er erzeugt quasi die (unendlich dicht liegenden und vom negativ Unendlichen bis ins positiv Unendliche laufenden) Punkte, aus der die Gerade besteht.

Es gibt auch noch andere Darstellungen, z.B. Koordinatengleichungen. Die funktionieren im Gegensatz zu Paramtergleichungen etwas anders. Aber Geraden im R³ (also im dreidimensionalen Raum) kann man sowieso nur durch Parametergleichungen ausdrücken. Geraden in der Ebene (R²) und Ebenen im Raum (R³) dagegen kann man sowohl in Parameterform als auch in Koordinatendarstellung (manchmal auch "geschlossene" oder "implizite" Form genannt) angeben. In Koordinatendarstellungen gibt man den Vektor einer Senkrechten zum Gebilde, das man haben möchte, an.

Gruß,
Steffen

[cosquillo]

sorry, war falsch.. glaub ich..

oder, warte mal.. parametergleichung ist doch es gegenteil von koordinatengleichung, oder?

[Steffen M.]

oder, warte mal.. parametergleichung ist doch es gegenteil von koordinatengleichung, oder?

Was Du geschrieben hattest, war schon richtig: In der Parametergleichung stehen die Vektoren drin, in der Regel Spaltenvektoren.

Eine Koordinatengleichung (von einer Ebenen im Raum) sieht z.B. so aus:[code]
2*x_1 + 3*x_2 - 5*x_3 = 0[/code]Es ist also eine "normale" Gleichung, die keine Vektoren enthält. Aus den Koeffizienten einer Koordinatengleichung (hier: 2, 3 und -5) kann man dann aber wiederum einen Vektor ablesen, der senkrecht auf der Ebenen, die die Koordinatengleichung definiert, steht und diese damit eindeutig festlegt.

Die Parametergleichung ist also eher der "konstruktive Ansatz", ein Gebilde zu definieren (Vektoren, Stützpunkt, Richtungsvektor, Laufparameter "k" - daher der Name), während eine Koordinatengleichung das Gebilde "implizit" angibt (senkrecht stehender Normalenvektor, Eigenschaften eines Skalarprodukts, usw.).

Gruß,
Steffen