wie leitet man zb . sin (ax²) oder sin ((ax)²) ab ???
das sind ja verkettet funktionen ,aber ich weis nicht wie man die fkt auspalten kann bzw wie die ableitungsregeln für solche fkt sind ...kann mir jmd helfen ?
wie leitet man zb . sin (ax²) oder sin ((ax)²) ab ???
das sind ja verkettet funktionen ,aber ich weis nicht wie man die fkt auspalten kann bzw wie die ableitungsregeln für solche fkt sind ...kann mir jmd helfen ?
soweit ich mich erinnern kann, werden klammern von innen nach außen aufgelöst.
also:
f ' (sin(ax²)) = 2ax + cos(ax²)
f ' (sin((ax)²)) = 3a + a² + 2x + cos((ax)²)
wobei ich glaube, dass die zweite ableitung eher falsch sein dürfte.
Fast - bis auf das Plus. Wobei Deine Schreibweise auch etwas seltsam ist mit dem "f' (sin(ax²))". Eigentlich müsste es heißen:[code]Zitat von Overkill
f(x) = sin(ax²)
--> f'(x) = 2ax * cos(ax²)[/code]
Passt nicht. Du hast irgendwie nach a und nach x abgeleitet. ;-)
Ich versuch's mal: Davon ausgehend, dass nach "x" abgeleitet wird und "a" ein fester Parameter ist:[code]
f(x) = sin((ax)²)
= sin(a²x²)
--> f'(x) = 2a²x * cos(a²x²)
= 2a²x * cos((ax)²)[/code]Mit anderen Worten: "a" ist eine "ganz normale, konstante Zahl", damit auch a², also nicht verwirren lassen.
Ansonsten allgemein: Gegeben eine verkettete Funktion f(x) = g(h(x)). Die Ableitung f'(x) = (g(h(x)))' erhält man, in dem man g'(h(x)) bildet und mit h'(x) multipliziert.
Noch ein etwas komplexeres Beispiel (mit mehreren Verkettungen):[code]
2
sin(x^2 + cos(4x))
Sei f(x) = e[/code]
Nun, die Verkettung sieht so aus:[code]f(x) = g((sin(x² + cos(4x)))²) mit g(x) = e^x
= g(h(sin(x² + cos(4x)))) mit h(x) = x²
= g(h(i(x² + cos(4x)))) mit i(x) = sin(x)
= g(h(i(j(x)))) mit j(x) = x² + cos(4x)
(klar, j(x) könnte man noch weiter zerlegen)[/code]
Also ist die Ableitung:[code]f'(x) = g'(h(i(j(x)))) * h'(i(j(x))) * i'(j(x)) * j'(x)
(sin(x² + cos(4x)))²
= e * 2 sin(x² + cos(4x)) * cos(x² + cos(4x)) * (2x - 4 sin(4x))[/code]
Gruß,
Steffen
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Overkill
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