kurvendiskussion (wendepunkte)

[Osterhase]

ich brauch mal hilfe in mathe. folgende funktion ist gegeben:
(die zahl nach dem x ist die potenz, weiß nicht wie ich die 4&5 nach oben krieg)

f(x)= 1,5x5 + 6x4 + 6x³

die erste ableitung wäre dann:

f ' (x)= 7,5x4 + 24x³ + 18x²

die zweite ableitung:

f '' (x)= 30x³ + 72x² + 36x

ich hab dann die extremwerte ausgerechnet, da kam folgendes raus:

7,5x4 + 24x³ + 18x² = 0
x (7,5x³ + 24x² + 18x) = 0

E1= (0/0)

7,5x³ + 24x² + 18x = 0
x(7,5x² + 24x + 18) = 0

E2= (0/0)

7,5x² +24x + 18=0

mit der mitternachtsformel kommt dann einmal x=2, und einmal x=1,2 raus.

die x-werte hab ich dann in die 7,5x³+24x²+18 eingesetzt (oder muss man sie in die original-funktion einsetzen?) , sodass rauskam:
E3= (2/192)
E4= (1,2/69.12)

und jetzt brauch ich noch die wendepunkte, aber ich weiß nicht was ich machen soll bzw. wie man das ausrechnet?
kann mir da jemand helfen?

p.s. falls irgendwo ein rechenfehler oder so ist, bitte sagen

[MicroCuts]

die x-werte in die ursprungsfunktion einsetzen und bedingungen für wendepunkte sind:
f´´(x) = 0 ^ f```(x) != 0

[Osterhase]

und welche x-werte? hab ja 4

[MicroCuts]

die 0 werte bringen ja nicht viel, da die gleichung dort ja auch 0 ergibt. aber 2 und 1,2 -> dann hast du die korrekten koordinaten der extrempunkte.

[bela_biene]

mach ich auch grad und hab da auch meine problemchen mit

[Duddits]

Du hast schonmal die p/q formel falsch gemacht. Da kommen -1,2 und -2 raus.

Danach wird eigentlich auf hoch, bzw. Tiefpunkt geprüft.
Das ergibt sich folgendermaßen. Die ermittelten Ex-werte in die zweite Ableitung einsetzen. Was da rauskommt ergibt bei <0 einen Hochpunkt, bei >0 einen Tiefpunkt und bei =0 einen Sattelpunkt.

[Osterhase]

hm, ok danke, werd ich mal einsetzen

aber die errechnten extremwerte stimmen?

[MicroCuts]

nee, wie duddits schon sagte: -1,2 und -2
=> die in die ausgangsgleichung einsetzen, dann hast du die dazugehörigen y-werte
=> der form halber: in die zweite ableitung einsetzen, dann siehst du ob´s ein hoch- oder tiefpunkt ist für:
x<0 => max
x>0 => min

wendepunkte:
zweite ableitung gleich null setzen. x-werte in die ausgangsgleichung setzen
=> dazugehörige y-werte
=> x-werte in die dritte ableitung einsetzen, wenn dritte ableitung danach ungleich null => wendepunkt existiert

[sad]

Du musst die zweite Ableitung gleich 0 setzen: f"(x)=0
das gleiche, was du für die Extremwerte gemacht hast nur halt mit der zweiten Ableitung.
bei mir wären das: -1.2 +- sqr(0.24)
Wenn ich mich nicht verrechnet habe und deine Ableitungen richtig sind...

[Osterhase]

ich hab jetzt -1,2 und -2 in die original-funktion eingesetzt. dann kommt raus: -26,6 und -192 . also wären die koordinaten (-1,2/-26,6) und (-2/-192)

und für die wendepunkte muss ich also 30x³+ 72x²+ 36x = 0 ausrechnen

dann kommt aber bei mir in beiden fällen 0/0 raus:

ich hab's so ausgerechnet:

30x³ + 72x²+36x = 0
x(30x² + 72x + 36) = 0

also wenn man für x=0 einsetzt, ist die gleichung null

die dritte ableitung wäre:

f ''' (x) = 90x² + 144x + 36

wenn man x=0 einsetzt kommt 36 raus
also koordinaten (0/36)

stimmt das jetzt?


boah ich hasse mathe

[sad]

Versuch mal die Funktion durch 30x zu teilen. Dann kannst du die Werte wieder in die PQ-Formel einsetzen und bist glücklich:

30x³ + 72x²+36x = 0 / :30x
x² + 2,4x + 1,2 = 0

danach berechnest du noch die y Werte und bist fertig...

[Osterhase]

ok, hab ich gemacht. kommt raus (-0,75/-1,2) und (-1,65/-5,5)

aber was hab ich jetzt überhaupt ausgerechnet? sind das jetzt die wendepunkte?

[sad]

Ich habe jetzt nicht die y Werte nachgerechnet, aber es müsste hinkommen. Das wären die Wendepunkte.
Am besten lässt sich das verdeutlichen wenn du dir die Funktion aufmalst, dann siehst du gleich ob das mit den Extrema und Wendepunkten sein kann...

[Osterhase]

ach wird schon stimmen.
hab jetzt keinen bock mehr drauf

[cosquillo]

ok.. ist zwar etwas sehr sehr spät.. aber ich als mathe-studentin wollt unbedingt mal wieder was mit zahlen zu tun haben

Nullstellen:
x1 = -2
x2 = 0

Extrempunkte:

x = -6/5 ---> y=-1.65888

x = -2 ---> y= 0

x = 0 ---> y= 0


Wendepunkte:

x = -0.7101020514 ---> y= -0.8936434264

x = -1.689897948 ---> y= -0.6961165736

x = 0 ---> y= 0



also falls noch jemand fragen hat (mathematische natürlich).. gerne!

[Osterhase]

ja ich hab noch fragen zur kurvendiskussion.
bzw. ich hab noch 2 aufgaben dazu gemacht und weiß nicht ob sie richtig sind.
kannst du die dann korrigieren? ich stell die dann morgen hier rein.

[Osterhase]

so, hier ist die erste aufgabe, die zweite folgt sogleich:

f(x)= -1/8x³ + 3/4x²
f ' (x)= -3/8x² + 6/4x
f ''(x)= -6/8x + 6/4

Nullstellen: f(x)=0

-1/8x³ + 3/4x² =0
x² (-1/8x + 3/4)=0 => N1=(0/0)

-1/8x + 3/4= 0
-1/8x= -3/4 => x=6
=> N2=(6/0)

Extrema: f '(x)=0

-3/8x² + 6/4x=0
x (-3/8x + 6/4) = 0 => E1=(0/0)

-3/8x + 6/4 =0
-3/8x= -6/4
=> x= 4
=> E2=(4/4)

Maximum und Minimum:

f ''(x)= -6/8x + 6/4

=> f ''(x E1)= +6/4 ; 6/4>0 => Minimum
f ''(x E2)= - 1 1/2; -1 1/2<0 => Maximum

Wendepunkte: f ''(x)=0

-6/8x + 6/4 = 0
=> x = 2
=> W=(2/2)


Ich bitte um korrektur

[Osterhase]

f(x)= 1/2x4 - 3x³ + 4,5x²
f '(x)= 2x³ - 9x² + 9x
f ''(x)= 6x² - 18x + 9

Nullstellen: f(x)=0

1/2x4 - 3x³ + 4,5x² =0

N1=(0/0) N2=(3/0)

Extrema:

f '(x)= 2x³ - 9x² + 9x

2x³ - 9x² + 9x=0
x (2x² -9x +9)= 0 => E1=(0/0)

2x² -9x +9= 0
Mit der p/q-formel kommt dann x1=3 und x2=1,5 raus.
=> E2=(3/0) E3=(1,5/2,5)

Maximum und Minimum:

f ''(x)= 6x² - 18x + 9
=> f '' (x E1)= 9; 9>0 => Minimum
=> f '' (x E2)= 9; 9>0 => Minimum
=> f '' (x E3)= -4,5; -4,5< 0 => Maximum

Wendepunkte: f '' (x)=0
f ''(x)= 6x² - 18x + 9

mit der p/q-formel kommt einmal x1=2,4 und einmal x2=0,6 raus.

=> W1=(2,4/1,04) W2=(0,6/1,04)

Und noch ne frage: woher weiß ich ohne den graphen zu zeichnen, ob bei einem wendepunkt (z.b. 2,4/1,04) es von einer linkskurve in eine rechtskurve oder andersrum geht? oder kann man das nur durch zeichnen herausfinden?

[Duddits]

Die erste ist schonmal richtig, bis auf die Nullstellen. Du hast X² ausgeklammert, was 2 Nullstellen ergibt.

edit:
Oh, achso, du nimmst das gleich als doppelte Nulstelle...

[Osterhase]

ok, thx.

ist die zweite auch richtig?

[cosquillo]

Und noch ne frage: woher weiß ich ohne den graphen zu zeichnen, ob bei einem wendepunkt (z.b. 2,4/1,04) es von einer linkskurve in eine rechtskurve oder andersrum geht? oder kann man das nur durch zeichnen herausfinden?

also aufgabe 2 stimmt..

du weißt ja, dass ne x^3 funktion von unten links kommt und nach oben rechts verschwindet... wenns -x^3 is umgekehrt..und bei x^2 is es ja klar.. x^4 x^2 (hängebusenfunktion) kommt von oben links und und geht wieder nach oben rechts..
wenn du dir paar funktionen anschaust,bekommst des ganz schnell raus..

sorry, weils wieder so spät kommt.. war lange nicht mehr hier..

[cosquillo]

ah sorry, hab die links/rechtskurve vergessen..
also stell dir vor, du kommst immer von links..
und jetzt stell dir noch vor, du fährst mit einem motorrad auf der linie entlang..
z.b. x^3 (kommt von unten links - wendestelle bei 0 - verschwindet nach rechts oben)

wenn du von links anfängst, kommst du ja von unten und "fährst" in einer rechtskurve zum wenndepunkt (bei 0) und nach dem wendepunkt "legt sich das motorrad" in die linkskurve.

noch fragen? frag ruhig..

[Scholzi]

ach die gute Kurvendiskussion.

Die hab ich echt gemocht