Lineare Algebra (Bestimme Orthonormalbasis)

[cosquillo]

Für P, Q |R[T] sei <P,Q>:= Integral von 0 bis 1 P(x)Q(x) dx

Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des Unterraums
V:= {P element |R[T] deg P <=3}

<= soll kleiner gleich heißen.



mein Ansatz:

Sei V={1,T,T², T³} die Basis.

u1=v1/||v1||
= 1

u2´= v2-<v2,u1>*u1
= T-<T,1>*1

kann man das noch kürzen???

u2=u2´/||u2´||
=T-<T,1>*1/||T-<T,1>*1||

u3´=v3-<v3,u1>*u1-<v3,u2>*u2
=T²-<T,1>*1-<T²,T-<T,1>>*T-<T,1>*1

u3= u3´/||u3´||
= T²-<T,1>*1-<T²,T-<T,1>>*T-<T,1>*1 / ||T²-<T,1>*1-<T²,T-<T,1>>*T-<T,1>*1||


wie gehts jetzt weiter??

bzw. stimmt das überhaupt so?

kann man da noch was "ausrechnen"?

[Steffen M.]

Für P, Q |R[T] sei <P,Q>:= Integral von 0 bis 1 P(x)Q(x) dx

Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des Unterraums
V:= {P element |R[T] deg P <=3}

<= soll kleiner gleich heißen.



mein Ansatz:

Sei V={1,T,T², T³} die Basis.

u1=v1/||v1||
= 1

u2´= v2-<v2,u1>*u1
= T-<T,1>*1

Ich hab' leider nicht viel Zeit und nie Lineare Algebra II gehört (für "uns" Informatiker reicht eine Lineare Algebra-Vorlesung).

Ich nehme an, Du orthonormalisierst nach dem Gram-Schmidt'schen Verfahren (hab' ich auch nicht mehr im Kopf, da schon einige Semester nicht mehr benötigt). Du hast dann aber ja Skalarprodukte stehen. Die kannst Du ja ausrechnen, denn Du hast ja eine Definition für Dein Skalarprodukt in diesem Vektorraum (also im Raum der Riemann-integrierbaren Funktionen) oben gegeben, also hier hast Du:

T - <T,1> * 1

Ich würde dann mal ansetzen:

x - Integral (x * 1 dx, von 0 bis 1 ) * 1

und dann damit evtl. nachher weiterrechnen.

Ansonsten schau Dir mal das hier an. Vielleicht hilft Dir das ja weiter. Scheint ganz ähnlich zu dem zu sein, was Du machst.

kann man das noch kürzen???

Wie gesagt, ich denke, das gibt sich, wenn Du die Skalarprodukte ausrechnest.

Ansonsten bin ich momentan etwas knapp in der Zeit, um mich da "richtig" reinzudenken oder es komplett durchzurechnen. Wie gesagt, wir hatten das auch nie so ausführlich gemacht (am meisten "orthonormalisiert" haben wir in Physik, meinem Nebenfach in Quantenmechanik I). ;-)

Gruß,
Steffen

[cosquillo]

danke, der linkt hat mir sehr weitergeholfen!