also um es gleich zu anfang zu sagen, ich verstehe die e funktion nicht.
wieso ist die Ableitung von e^x gleich e^x?
Angenommen ich habe irgendeine funktion, nehmen wir mal x^3 und bilde davon die ableitung habe ich 3x^2. das müsste doch bei der e funktion das selbe sein. also y=e^3 und die ableitung y´=3e^2. aber laut lehrer stimmt das eben nicht. warum?
also, die e-funktion ist eine der eigentlich einfachsten funktionen der welt. wär sie nicht so furchteinflößend durch ihr äußeres!
die ableitung von e^1x ist = 1*e^1x
das ist quasi innere mal äußere ableitung.
die äußere ableitung bleibt immer gleich, wenns vorher e^(3x+2) war, dann bleibt es das auch.
und dann halt noch die innere abeitung von der potenz. im oben genannten fall: 3.
also wär die ableitung von e^(3x+2) = 3*e^(3x+2).
verstehst?!?
genau. einfach kein stress machen
du ziehst im grunde genommen was vorm x steht runter. bei e^(1x) ist dann die ableitung eben 1*e^1x
wenn du e^(mx+c) hast, ist die ableitung
m*e^(mx+c)
einfach so hinnehmen. aufleitung ist übrigens 1/m*e^(mx+c)
okay aber heißt es nicht die ableitung von e^x ist immer e^x?Zitat von perlchen
ich glaube ich habe da einfach irgendein verständnisproblem.
was ist nun das besondere an dieser e funktion?
wenns heisst e^3 ist die ableitung 0.
solang ein x dabei is, gibts auch ne ableitung.
hat euch keiner die herleitung von e^x und alle erklärungen gegeben?
wir ham die ma bekommen, der größte müll auf erden, habs dann einfach akzeptiert...
ableitung von e^x ist auch immer e^x . nur ab un an steht was vor oder hinter dem x, dann kommt die kettenregel zur geltung, und am ende isses wieder "im grunde" e^x ...rechenbeispiel hat ja perlchen gebracht ^^
Ohne Variable in deinem Term hast du immer eine Konstante, also eine Gerade, die parallel zur x-Achse verläuft. Die Krümmung ist konstant, eine Steigung gibt es nicht. Die Ableitung f'(x) gibt immer die Steigung der Funktion f im Punkt x wieder.
Du musst bei der Ableitung der e-Funktion beachten, dass sie per Kettenregel gebildet wird, x^3 wird anders abgeleitet.
ja, die ableitung von e^x ist immer e^x.
aber wenn du mehr als bloß x als potenz da stehen hast, wird die kettenregel angewendet, wie teq und ich sie erklärt haben.
das besondere an der e-funktion... also:
1) das e der e-funktion ist eine ganz bestimmte festgelegte zahl, so ähnlich wie pi, nur halt ne andere (die du nicht auswendig wissen musst).
das hilft beim verstehen, warum e nicht als variable angesehen werden kann...
2) eine e-funktion ist nie null. das heißt, sie ist nur oberhalb der x-achse
3) e^0 ist immer 1. d.h., dass die funktion durch den punkt p(0/1) geht
jo, das ist so das wichtigste, denk ich. und keine angst vor der e-funktion. die ist gaaaaaaaaaanz zutraulich. man muss nur mit ihr umgehen lernen!
okay,
noch was
wenn ich 3^2x ableite habe ich 2*3^2x oder?
setze ich nun für x eine 5 ein würde es ja heißen:
2*3^2*5
wenn ich jedoch in die funktion 3^2x für x eine 5 einsetze habe ich 3^10 und wenn ich davon die ableitung bilde habe ich 10*3^9.
müsste ja theoretisch das selbe sein wie die andere ableitung ist es aber nicht. warum?
3^10 ist abgeleitet 0 weils ne zahl ist, wo keine variable mehr vorkommt
wenn du f(x)=e^3x
ableitest
ist f'(x) = 3* e^3x oder oO
nur weil für gilt
f(x) = e^x = f'(x), heißt das nicht, dass du den exponenten beliebigen ändern kannst und alles gleich bleibt.
nehmt euch das beispiel von teq, die die formel vollgegeben hast.
du hast im allgemeinen fall eigentlich ein:
f(x) = n* e ^(mx^p+c)
dafür gilt die ableitung allgemein:
f'(x) = n*m*x^(p-1) * e ^(m*x^p)
also: 3^2x abzuleiten ist nicht so einfach, wie du dir das grade vorstellst. das kannst du nicht mit der e-funktion vergleichen!
ich persönlich hatte das nie in der schule, habe aber grade mal auch aus eigenem interesse meinen vater gefragt. der meinte, man müsste über logaritmus und logaritmusgesetze das 3^ in ein e^ verwandeln. und das ist nicht so einfach!
und wie aveeva schon sagte, ist die ableitung einer zahl wie 3^10 immer gleich 0.
allgemein gilt
(a^x)' = ln(a)*a^x
Das ist aber eine Konsequenz aus der e-Fkt und ihrer besonderen Eigenschaft.
Die e-Fkt ist als Zahlenfolge darstellbar, bzw. ist wohl ihr Ursprung schätze ich und dann gibts wieder einen tollen und spannenden mathematischen Beweis warum die Ableitung der e-Fkt wiederrum die e-Fkt ist.
Ne, ist viel einfacher. Die E-Funktion kann man als unendliche Reihe darstellen, die halt so gestrickt ist, dass sie abgeleitet wieder sich selber ergibt.
Exponentialreihe:
exp(x) = Summe von i=0 bis unendlich (x^n/n!) = 1 + x/1 + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24 + x^5/120 + ...
Wenn man die Reihe ableitet, kommt halt wieder die Reihe raus. Also die 1 fällt weg aus x/1 wird die neue 1. Aus x^2/2 wird x etc.
Der Grenzwert der Reihe ist gerade die Eulersche Zahl e. Warum man das ganze auch als e^x schreiben kann, müsste ich nachgucken...
Den Beweis habe ich auch vorhin noch gefunden. Der ist wesentlich besser also der Mist mit der Folge.
Dass du ins Stocken kommst liegt daran dass der Grenzwert der von dir erwähnten Reihe nicht e sondern e^x ist
(e ist der Grenzwert der unendlichen Reihe über 1/k!)
das is doch total egal. ich kann nur nochmal sagen: einfach so hinnehmen
wir sind da mit dem vorgehen aus der 11ten rangegangen, asl man sich mit dem delta von y : delta von x die steigung rausgesucht hat, und dann den abstand der beiden punkte in denen die steigung gemessen wird gegen null strebt.
also für welche basis ist f'(0)= 1
also haben wir f(x)=b^x und b soll die zahl sein für die gilt (nach dem delta-dings): (f(0)-f(0+h))/-h=1 (unten steht ein negatives h, weil im zähler ja auch was negatives steht, damits insgesamt positiv bleibt)
(f(0)-f(0+h))/-h (mit h-->0
= ((b^0)-(b^0+h)/-h)
= (1-b^h)/-h
ab da haben wir dann ausprobiert und uns der zahl e genähert, bis rigendwer mal die noch unbekannte e taste gedrückt hat
also: e sei die zahl für die gilt lim von h-->0 : (((e^h)-1)/h)= 1
h gegen Null.
eeehm, mien ich doch, alles andere würde ja etwas unsinnig sein, ich editier das mal ^^
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Tequilla
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